數值分析技術及其在注塑模中的應用研究系統的數學模型，采用混合有限元法、有限差分法求解壓力和能量方程，從而實現了成型過程數值分析。
在塑料制品生產中，塑料、模具和加工設備三者密切相關。塑料加工不單純是物理成型過程，而是控制制品的結構和性能的中心環節。近幾年來，發展最快的是利用計算機輔助工程對加工過程進行數值模擬，研究加工條件的變化規律，預測制品的結構和性能，選擇制品和模具設計以及工藝條件的最佳方案，使加工成型從一項實用技術變為一門應用科學。如果對塑料在加工過程中的流動、傳熱，以及在力場和熱場的作用下所出現的物理變化、化學變化沒有深入的科學認識，就不能生產出質地優良的制品。因此，各國對塑料的成型加工的基礎研究都非常重視。注射模數值分析技術是利用計算機對塑料注射成型過程各階段進行定性與定量描述，從而在模具制造前發現并改正設計弊端。目前注塑模數值分析技術的研究工作主要集中在流動模擬、冷卻模擬等方面。流動充填模擬分析一般包括澆道系統分析和型腔充填分析。澆道系統分析的目的是確定合理的流道尺寸、布置以及最佳的澆口數量、位置和形狀;型腔充填分析的主要目的是為了得到合理的型腔形狀及最佳的注塑壓力、注射速率等參數。塑膠熔體在注塑模型腔中的流動行為直接影響著塑件的性能和質量，而塑料熔體的流動行為又取決于型腔和澆注系統的設計及注塑工藝參數的選擇，為保證模具和由模具生產的塑件的質量，必須對流動過程進行分析預測。
成型過程數學模型：假設與簡化塑料熔體充填過程可以認為是粘性不可壓縮非等溫流動與傳熱過程，它總是伴隨著與內摩擦與傳熱有關的能量耗散過程，可以采用粘性不可壓縮流體的基本方程來描述它。鑒于大多數注塑制件都是薄壁件，故可以認為熔體是在扁平型腔內流動的，可以通過采用適當的邊界條件求解上述方程組來得到粘性流體在流動和傳熱過程中的物理場分布，但實際上則往往是很困難的，必須針對具體問題進行適當的簡化。下面針對充模流動特點給出相應的假設和簡化。
由于型腔厚度(z方向)遠小于其它兩個方面(x，y方向)的尺寸，且熔體的粘度較大，因此可以忽略z方面的速度分量(w= 0)，且認為壓力P是x、y的函數，沿厚度方向不變，即在充填流動過程中，型腔內壓力不是很高，且合適的澆口數量和布置可避免局部過壓現象，可認為熔體是不可壓縮的，即V.=0.由于熔體粘度較大，相對于粘性剪切力而言，慣性力和質量力都很小，可以忽略不計。
在熔體流動方向(xy方向)上，相對于熱對流項而言，熱傳導項很小，可以忽略不計。
在充填過程中，熔體溫度變化范圍不大，可以認為熔體的比熱容及導熱系數為常數。
忽加熔體前沿附近噴泉式流動的影響。
三維薄壁型腔充填過程分析的控制方程連續性方程(hu)2)=0(3)能量守恒方程3T3T石+v3T3T2(4)其中b為型腔半厚;為密度。式(一8)也是溫度求解的控制方程。
通過對上面公式積分，并代入邊界條件后得出流通率以上假設用于粘性流體力學的基本方程可導出塑料熔體充模流動的控制方程：壓力場控制方程最后得出沿邊界C流入某控制體積和體積流率為式(一4)和(一7)構成求解三維薄壁制體充填流動的控制方程。澆注系統充填過程控制方程連續性方程能量守恒方程本構方程r=其中p為密度;為比熱;t為溫度場;為壓力場;Vz為軸向流速;為熱傳導率;n為粘度。邊界條件1在平面上柱1：軸線上塑料熔體充模流動的控制方程具有如下邊界條件。在熔體接觸的型腔邊界上，其中Q是沿整個厚度的流率。
最后，對于兩股塑料溶體在型腔相遇時將形成熔接線，相應的邊界條件應該是壓力和法向速度在熔接線保持連續澆注系統充填過程控制方程具有如下邊界條件：成型過程數值計算方法對注射成型充模過程的數學描述可歸結為一組偏微分方程及相應的定解條件。迄今為止，流動模擬中常用的數值方法可分為兩類：一類是區域型數值方法，主要包括有限差分法和有限元/有限差分法混合法;另一類是邊界型數值方法，主要是邊界元法。有限閉差分法和流動模擬中最早采用的方法，該方法比較簡單，對求解一維問題非常有效，但對于復雜邊界的適應性較差，因而難以應用于三維流動模擬問題。有限元/有限差的分混合法的基本思想是：在流動平面內各待求量(P、T等)用數值法近似。而各待求量(T、u、v等)在型腔厚度分法各自的優點，對復雜邊界的適應性強，成為流動模擬主要的數值計算方法。
這種方法的基本思想是采用三角形單元定義控制體積，利用控制體積法建立壓力場求解的有限元方程，通過對時間和沿厚度方向進行差分，建立溫度場求解的能量方程，并根據控制體積單元的充模狀況確定流動前沿位置。
幾何離散在采用有限元法、有限差分法進行注塑模流動分析時，應該將計算區域劃分成相應的離散的單元。
對于模具型腔，將利用中面模型將整個型腔離散成線性三角形單元，并沿厚度方向進行差分網格劃分。
線性三角形單元具有以下幾個優點：對復雜型腔的逼近程度更好;更易實現對復雜區域的網格劃分;可采用坐標面積進行計算，從而避免了等參轉換。
在把整個計算區域劃分三角形和管道網格后，引入控制體積的概念，對于每一個三角形單元通過連接形心和邊界中點而將單元劃分成三個子面積，管道元沿中分成2個子長度。相應于每一個節點N的控制體積是由與此結點相連的所有子體積構成的，它是一個多邊形區域多邊形的控制體積表現出以下主要特征：相互不重疊;布滿整個區域三角形單元和控制體積錯落分布保證了計算精度。
單元及插值函數：―維線性管單元一維線性管單元可以簡單地用一圓柱表示，它具有兩個頂點節點。在不考慮單元內場函數X的導數時，一維線性管單元的場函數X可以插值表示為其中Ni、N2的插值函數。二維三角形線性單元兩個頂點的直線方程左部的線性函數來構成。例如對節點/，可用邊的方程來構成它的插值函數，即N1其它兩個頂點雷同，即其中即線性三角形單元的三個插值函數就是三角形單元的三個面積坐標。
壓力場下面描述壓力場求解的數值的方法，當溫度場和熔體區域的任意充填時刻給定時，可以利用壓力邊界條件求解壓力控制方程，而得到壓力場的分布。在具體計算時，可以采用線性三節點三角形單元來分別描述型腔表面和澆道，單元內的壓力分布可采用線性插值表示。對于三角形單元1其中Pl(l)分別為三角形單元1的節點壓力和面積坐標插值函數。
在壓力場有限元方程的建立過程中，我們將有限元法和控制體積概念結合起來。在假設熔體不可壓縮的條件下，通過對每一個控制體積的質時守恒來建立有限元方程。一個控制體積的質量守恒，可由各個相近單元流過控制體積邊界的質量流率相加得到總質量流率計算得到。注入控制體積的質量可由其邊界上的積分得到。
最后得到流入節點N的凈流率為上述方程是線性的，可以采用松弛法求解差分方程，從而獲得溫度場。采用松弛法求解解因為松弛法求解過程所需的存儲量是0階，而直接迭代所需的存儲量是0(2)階，其中n是節點個數。對于大型制件和采用固定網格數值積分方法時，松弛迭代是比較適宜的。
熔體的前鋒位置的確定模具充填過程是一個瞬態過程，熔體前沿隨時間向前推進，上面給出的控制方程都是針對于熔體區域的，因此需要確定任意時刻熔體的自由界面。對每一個控制體積引入參數f別表示控制體積的體積和該控制體積已被熔體充填的體積，它反映了每一個控制體積的充滿程度。可以根據控制體積的充填將節點分為4類：(1)入口點(/=1)：熔體由此進入型腔;(2)內點(/= 1)：與其相應的控制體積被完全充填;(3)前沿點((K/< 1)與其相應的控制體積比部分充填;(4)空點(/=0)：熔體還未到達到控制積節點。
對于任意時刻，前沿點滿足0壓力邊界條件式(2―10)，而所有的內點也滿足各自方程。由方程和壓力邊界條件可以計算出充填區域節點壓力和流入前沿點的凈流率，前沿點充填百分比/可根據每個節點的凈流率和時間步入得到更新。時間步長的選擇，應保證在每一時間步長剛好有一個控制體積被充滿。而與其相連的所有空節點將成立新的前沿節點。因而假設充填開始時，入口節點完全充滿，且假定溫度均勻，等于熔體充填溫度，使每個時間步長剛好有一個控制體積被充滿，并計算每一部時間步長的溫度場和壓力場，推進熔體前沿直到型腔被充滿。當計算出給定時刻的壓力場，流入每個控制體積的流率可以通過控制體積的邊界積分得到，按照時間步長的的質量守恒可以修改每一個控制體積的充填百分比(/)，相應的材料性能也得到改變。控制體積法采和線性三角形單元，對于流動前沿的某些非連續效應不需要做特殊處理，數值試驗證明了熔體前沿的運動對網格密度的敏感程度不大，適度的單元數和節點數就可以模擬復雜的三維制件，盡管如此，均勻地等邊三角形分布可以比較好地預測熔體前沿分布。
結論根據所建立的數學模型和相應的求解方法，利用VC+ +6.0編制了數值分析程序。充分利用VC+ +的顯著特點，在數據結構中以二叉樹理論及稀疏矩陣的壓縮存儲方法實現網絡結構的自動生成及動態模擬計算，具體方法在另篇文章中詳細介紹。通過數值分析結果和實驗結果的比較，表明了數學模型及求解過程的正確性和系統的可靠性。
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